Question

如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為4，F(xiàn)為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分別為D和E．
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）設(shè)BF=m，四邊形ADEF面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）只需找到兩組對(duì)應(yīng)角相等即可．
（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進(jìn)而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題．

解答：（1）求證：∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）解：∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°=

DF

BF

=

3

2

，cos60°=

BD

BF

=

1

2

．
∵BF=m，
∴DF=

3

2

m，BD=

1

2

m．
∵AB=4，
∴AD=4-

1

2

m．
∴S_△ADF=

1

2

AD•DF
=

1

2

×（4-

1

2

m）×

3

2

m
=-

3

8

m²+

3

m．
同理：S_△AEF=AE•EF=-

3

8

m²+2

3

．  
∴S=S_△ADF+S_△AEF
=-

3

4

m²+

3

m+2

3

=-

3

4

（m²-4m-8）
=-

3

4

（m-2）²+3

3

                      
∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，靈活掌握并運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題．