Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,

(1) 取點M(1，0)，則點M到直線l： 的距離為_________，取直線與直線l平行，則兩直線距離為_________.

(2) 已知點P為拋物線y＝x2－4x的x軸上方一點，且點P到直線l： 的距離為，求點P的坐標(biāo).

(3) 若直線y＝kx＋m與拋物線y＝x2－4x相交于x軸上方兩點A、B（A在B的左邊），且∠AOB＝90°，求點P(2，0)到直線y＝kx＋m的距離的最大時直線y＝kx＋m的解析式.

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) P(， );(3) y＝－2x＋9.

【解析】試題分析：(1) 利用直線的正切值即可.(2) 先求出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，過點E作EG⊥EF交y軸于G，根據(jù)已知條件求出EG=,過點G并且和直線平行的另一條直線就可以畫出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求出點P的坐標(biāo).(3)本題設(shè)A(x1，x12－4x)、B(x2，x22－4x)，利用一線三等角，得到相似三角形，得AC·BD＝OC·OD，求出兩根的關(guān)系是，再聯(lián)立方程組，求出直線經(jīng)過的定點，從而確定距離最遠的位置，求出解析式即可.

試題解析：

解：(1) ， （利用直線的tan值）

(2) 設(shè)直線l：y＝x－1與x軸、y軸相交于點E、F

∴E(2，0)、F(0，－1)

過點E作EG⊥EF交y軸于G

∴tan∠EGF＝

∴OG＝4

∴GE＝

∴過點G作直線l的平行線交拋物線于點P，則點P即為所求的點

設(shè)直線PG的解析式為

由x2－4x＝，解得

∴P(， )

(3) 設(shè)A(x1，x12－4x)、B(x2，x22－4x)

過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D

∴Rt△AOC∽Rt△OBD

∴AC·BD＝OC·OD

∴(x12－4x1)(x22－4x2)＝－x1x2，x1x2－4(x1＋x2)＋17＝0

聯(lián)立，整理得x2－(k＋4)x－m＝0

∴x1＋x2＝k＋4，x1x2＝－m

∴－m－4(k＋4)＋17＝0，m＝1－4k

∴直線的解析式為y＝kx－4k＋1，必過定點Q(4，1)

當(dāng)點P(2，0)到直線y＝kx＋m的距離最大時，PQ⊥AB

此時直線的解析式為y＝－2x＋9.