Question

12．如圖，拋物線(xiàn)${y_1}={（x-2）^2}+m$與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），直線(xiàn)y₂=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線(xiàn)AD的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)圖象指出，當(dāng)x取何值時(shí)，y₂＞y₁．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可求出m的值，進(jìn)而可得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）首先由拋物線(xiàn)的解析式可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于點(diǎn)A的坐標(biāo)已知，進(jìn)而可求出直線(xiàn)AD的解析式；
（3）結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖象可知當(dāng)?shù)�直線(xiàn)在拋物線(xiàn)上方時(shí)可得到y(tǒng)₂＞y₁的解集．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線(xiàn)上，
∴（1-2）²+m=0，
∴m=-1，
∴y₁=（x-2）²-1；                
（2）拋物線(xiàn)y₁=（x-2）²-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，與y的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），
直線(xiàn)AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A，D，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}}\right.$，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1；                          
（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y₂＞y₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與不等式（組）的知識(shí)，同時(shí)涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題要注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用，難度一般．