Question

14．如圖，拋物線y=ax²+bx+$\frac{5}{3}$經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），對(duì)稱軸方程x=2，請(qǐng)解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC，求AC的長；
（3）求直線AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出解析式；
（2）把（1）求得的解析式轉(zhuǎn)化長頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得AC的長；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，把A、C的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{5}{3}=0}\\{-\frac{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$，
則函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．
（2）由y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+3，
∴頂點(diǎn)為（2，3），
∵A（-1，0），
∴AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．