Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），交軸于點(diǎn)C，以OC、OB為兩邊作矩形OBDC，CD交拋物線于G．（1）求OC和OB的長；

（2）拋物線的對稱軸在邊OB（不包括O、B兩點(diǎn)）上作平行移動(dòng)，交軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P．設(shè)OE ＝m，PM ＝h，求h與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出PM的最大值；

（3）連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線，

∴當(dāng)=0時(shí)，=4；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．  ∴OC=4   

∴當(dāng)=0時(shí)，，解得．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）      ∴OB=3．          

（2）∵拋物線的對稱軸⊥軸，在邊PE∥，

∴PE⊥軸．

∵OE =m，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．                     

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．                    

∴PE=．                                

在Rt△BOC中，tan∠OBC=．                       

在Rt△BME中，

ME=BE tan∠OBC=（OB－OE）·tan∠OBC=（3－m）=4－m．

∴PM = PE－ME =－4+m=．

∴ h與m的函數(shù)關(guān)系式為h=（0<m<3）      

又h=，

∵－<0，∴當(dāng)m=時(shí)，h有最大值為3，∴PM的最大值為3．

（3）①當(dāng)m=時(shí)，△PFC∽△BEM，此時(shí)△PCM為直角三角形

（∠PCM為直角）；                    

②當(dāng)m=1時(shí)，△CFP∽△BEM，此時(shí)△PCM為等腰三角形（PC=CM）．