Question

問題：探索等腰三角形─腰上的高與底邊所成的角與頂角的關系．
（1）為了解決這個問題，我們可從特殊情形入手，如圖（1），△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是AC邊上的高，則∠DBC=

 

°．如圖（2），△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是AC邊上的高，則∠DBC=

 

°．如圖（3），△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BD是AC邊上的高，則∠DBC=

 

°；
（2）猜想，∠A與∠DBC的關系是

 

；
（3）對上述猜想，請你作出解釋．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質(zhì)

專題：探究型

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出等腰三角形的底角的度數(shù)，然后在一腰上的高與底邊所構成的直角三角形中，可得出所求角的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖（1）：△ABC中，AB=AC，BD是邊AC上的高．
∵∠A=40°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=70°；
∴∠DBC=90°-70°=20°．
如圖（2）：△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高；
∵∠A=90°且AB=AC，
∴A點和D點重合；
在Rt△BDC中，∠BDC=90°；
∴∠DBC=90÷2=45°；
如圖（3）：△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高；
∵∠A=120°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-120°）÷2=30°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=30°；
∴∠DBC=90°-30°=60°．

（2）根據(jù)以上的解答猜想；∠DBC=

1

2

∠A．

（3）在△ABC中，AB=AC，BD是邊AC上的高，那
么∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）÷2=90°-

1

2

∠A，
在Rt△BDC中，∠DBC=90°-（90°-

1

2

∠A）=

1

2

∠A．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理．求一個角的大小，常常通過三角形內(nèi)角和來解決，注意應用．