Question

如圖，矩形BC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．
（1）求k的值及點E的坐標；
（2）若點F是邊OC上一點，且△FCB∽△DBE，求直線FB的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據B的坐標，以及四邊形ABCO為矩形，確定出BC中點D坐標，代入反比例解析式求出k的值；根據E在反比例圖象上，且B與E橫坐標相同，確定出E坐標即可；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，由△FCB∽△DBE得比例，求出CF的長，繼而確定出OF的長，得到F坐標，設直線FB的解析式為y=k₁x+b，將B（2，3），F（0，

5

3

）代入求出k₁與b的值，即可確定出直線FB解析式．

解答：解：（1）在矩形OABC中，∵B點坐標為（2，3），
∴BC邊中點D的坐標為（1，3），
又∵雙曲線y=

k

x

的圖象經過點D（1，3），
∴3=

k

1

，即k=3，
∵E點在AB上，
∴E點的橫坐標為2，
又∵y=

3

x

經過點E，
∴E點縱坐標為

3

2

，
∴E點坐標為（2，

3

2

）；
（2）由（1）得BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，
∴

BD

CF

=

BE

CB

，即

1

CF

=

3 2

2

，
∴CF=

4

3

，
∴OF=

5

3

，即點F的坐標為（0，

5

3

），
設直線FB的解析式為y=k₁x+b，
將B（2，3），F（0，

5

3

）代入得：

3=2k1+b 5 3 =b

，
解得：

k1= 2 3 b= 5 3

，
∴直線FB的解析式為y=

2

3

x+

5

3

．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，坐標與圖形性質，相似三角形的性質，以及矩形的性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．