Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動，以為直徑作，當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)時停止運(yùn)動，設(shè)．

（1）___________，___________．（用的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)為何值時，與的一邊相切？

（3）在點(diǎn)整個運(yùn)動過程中，過點(diǎn)作的切線交折線于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，過作于．

①當(dāng)線段長度達(dá)到最大時，求的值；

②直接寫出點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長是________．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）觀察圖中和的數(shù)量關(guān)系可得，而，將代入即可.

（2）與的一邊相切有兩種情況，先與相切，再與相切；兩種情況的解答方法都是連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)條件所給的特殊角的三角函數(shù)解答.

（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，在中根據(jù)三角函數(shù)可得，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取得最大值時，有最大值，解之即可.

②明顯以點(diǎn)與點(diǎn)重合前后為節(jié)點(diǎn)，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡分兩部分，第一部分為從開始運(yùn)動到點(diǎn)與點(diǎn)重合，即圖中的，根據(jù)求解；第二部分，根據(jù)為定值可知其軌跡為圖中的，在中用勾股定理求解即可.

（1），

（2）情況1：與相切時，

中，∵

∴

∴解得

情況2：與相切時，

中，∵

∴即

解得

（3）①

在中，∵，，

∴，

∴當(dāng)最大時即最大

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的值最大．

易知此時．

在中，∵∴

∴

（3）軌跡如圖：從到到

,

，

故，

到軌跡是線段理由如下：

∵，，∴．

∴為定值，

∴點(diǎn)的第二段的軌跡是線段．

在中，,

所以點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長是.