Question

已知，如圖，∠B，∠C的外角平分線交于點D，若∠A=40°，則∠D是多少度？你能將它一般化嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)進行推導(dǎo)，得∠D=90°-

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∠A．

解答：解：∵∠EBC、∠BCF是△ABC的外角，
∴∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）
=40°+180°=220°，
∵∠B，∠C的外角平分線交于點D，
∴∠DBC+∠DCB=

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2

（∠EBC+∠BCF）
=

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×220°=110°，
∵△BCD中，∠DBC+∠DCB=110°，
∴∠D=180°-110°=70°；
∠D=90°-

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2

∠A．
證明：∵∠EBC、∠BCF是△ABC的外角，
∴∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）
=∠A+180°，
∵∠B，∠C的外角平分線交于點D，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠BCF）
=

1

2

×（∠A+180°）=

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2

∠A+90°，
∵△BCP中，∠PBC+∠PCB=

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2

∠A+90°，
∴∠P=180°-（

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∠A+90°）=90°-

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2

∠A．

點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．