Question

3．點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的BC，CA，AB邊上，∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，BE、CF交于點(diǎn)M，CF、AD交于點(diǎn)N，且滿足∠BMF=2∠CND，那么∠BAC等于$\frac{180}{7}$（度）．

Answer 1

分析 由∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF易得各角與∠ABC、∠ACB、∠BAC之間的關(guān)系，由三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和表示出∠BMF與∠CND，再利用∠BMF=2∠CND可得出∠ABC+∠ACB=6∠BAC，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠CAD=3∠BAD，∠ABE=3∠CBE，∠BCF=3∠ACF，
∴∠CAD=$\frac{3}{4}$BAC，∠BAD=$\frac{1}{4}$∠BAC，∠ABE=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠BCF=$\frac{3}{4}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{4}$∠ACB．
∠BMF=∠EBC+∠BCF=$\frac{1}{4}$∠ABC+$\frac{3}{4}$∠ACB；
∠CND=∠CAD+∠ACF=$\frac{3}{4}$∠BAC+$\frac{1}{4}$∠ACB；
∵∠BMF=2∠CND，即$\frac{1}{4}$∠ABC+$\frac{3}{4}$∠ACB=2×（$\frac{3}{4}$∠BAC+$\frac{1}{4}$∠ACB），
∴∠ABC+∠ACB=6∠BAC，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=$\frac{180°}{7}$．
故答案為：$\frac{180}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角定理．解題的關(guān)鍵是由∠BMF=2∠CND找出∠ABC+∠ACB=6∠BAC．本題屬于中檔題，難度不大，但在角的變化上稍顯繁瑣，一不注意就易失分，做形如此類(lèi)題型時(shí)，牢牢把握等量關(guān)系是關(guān)鍵．