Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點(diǎn)P從B出發(fā)沿BA向A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？
（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）四邊形PQCB面積能否是△ABC面積的

3

5

？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEQ為等腰三角形？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

AP

AB

=

AQ

AC

，列出比例式

10-t

10

=

2t

6

，求解即可；
（2）根據(jù)S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•AQ•sinA，即可得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)四邊形PQCB面積是△ABC面積的

3

5

，列出方程

4

5

t²-8t+24=

3

5

×24，解方程即可；
（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一種情況都可以列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10-t

10

=

2t

6

，
解得t=

30

13

；

（2）∵S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•AQ•sinA
∴y=

1

2

×6×8-

1

2

×（10-2t）•2t•

8

10

=24-

4

5

t（10-2t）
=

4

5

t²-8t+24，
即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=

4

5

t²-8t+24；

（3）四邊形PQCB面積能是△ABC面積的

3

5

，理由如下：
由題意，得

4

5

t²-8t+24=

3

5

×24，
整理，得t²-10t+12=0，
解得t₁=5-

13

，t₂=5+

13

（不合題意舍去）．
故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的

3

5

，此時(shí)t的值為5-

13

；

（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=

5

2

；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×

6

10

=t，解得t=

30

11

；
③如果QA=QE，那么2t×

6

10

=5-t，解得t=

25

11

．
故當(dāng)t為

5

2

秒

30

11

秒

25

11

秒時(shí)，△AEQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，平行線的判定，四邊形的面積，等腰三角形的判定，中心對(duì)稱的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用分類討論、方程思想是解題的關(guān)鍵．