Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，P為拋物線的頂點，若∠APB=120°，則b²-4ac=    ．

Answer 1

【答案】分析：解答此題可分以下幾步：①設(shè)A、B點坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求出用x₁、x₂表示的AB長度的表達式；
②求出拋物線頂點縱坐標(biāo)表達式，其絕對值即為△APB的高；
③根據(jù)∠APB=120°，求出∠PAB的度數(shù)，通過三角函數(shù)建立起AB的長度與△APB的高的關(guān)系式；
④將b²-4ac看做一個整體，解方程即可得到正確答案．
解答：解：如圖，作PD⊥x軸于D，
設(shè)A、B點坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
則AB=|x₁-x₂|===；
拋物線頂點坐標(biāo)為（-，），
則DP的長為||，
∵∠APB=120°，
由拋物線是軸對稱圖形可知，△APB為等腰三角形，
可知，∠PAD=∠PBD==30°，
于是DP=tan30°•AD=tan30°•AB，
即||=××，
兩邊平方得，=，
去分母得，3（b²-4ac）²=4（b²-4ac），
移項得，3（b²-4ac）²-4（b²-4ac）=0，
（b²-4ac）[3（b²-4ac）-4]=0，
解得b²-4ac=0或b²-4ac=．
由于拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，故△＞0，
即b²-4ac=．
故答案為．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)與兩點間的距離的關(guān)系、拋物線頂點坐標(biāo)及等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的相關(guān)知識，綜合性較強．