Question

如圖1，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求證：AD=DC；
（2）如圖2，在上述條件下，若∠A=∠ABC=60°，過點(diǎn)D作DE⊥AB，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF．判斷△DEF的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角關(guān)系即可得出∠CDB=∠CBD進(jìn)而得出AD=DC，
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，再利用直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出答案．

解答：（1）證明：∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；

（2）△DEF為等邊三角形，
證明：∵BC=DC（已證），CF⊥BD，
∴點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，
∴△DEF為等邊三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形判定以及等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，得出EF=DF=BF是解題關(guān)鍵．