Question

3．如圖1，分別以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），將矩形OABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使B點(diǎn)落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為OA₁B₁C₁，BC、A₁B₁相交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)B₁的坐標(biāo)與線段B₁C的長(zhǎng)；
（2）將圖1的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過(guò)程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于點(diǎn)M₁，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x，矩形PA₂B₂C₂與矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用勾股定理求矩形OABC的對(duì)角線OB長(zhǎng)，得點(diǎn)B₁的坐標(biāo)；B₁C=B₁O-OC；
（2）求分段函數(shù)，以A₂落在BC上的時(shí)刻為界，將函數(shù)分為兩段，畫出圖形，分別求函數(shù)解析式．

解答 解：（1）如圖1，∵OB₁=OB=5，
∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，5），
∵C（0，4），
∴OC=4，
∴B₁C=OB₁-OC=5-4=1；

（2）在矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移到P點(diǎn)與C點(diǎn)重合的過(guò)程中，點(diǎn)A₁運(yùn)動(dòng)到矩形OABC的邊BC上時(shí)，
重疊部分的面積為△PA₂C的面積，A₂C=$\frac{12}{5}$，
∵A₂P=3，
根據(jù)勾股定理得：CP=$\frac{9}{5}$，即4-x=$\frac{9}{5}$，
∴P點(diǎn)移動(dòng)的距離x=$\frac{11}{5}$，
當(dāng)自變量x的取值范圍為0≤x＜$\frac{11}{5}$時(shí)，
如圖2，由△B₂CM₁∽△B₂A₂P，
得CM₁=$\frac{3+3x}{4}$，
此時(shí)，y=S_△B2A2P-S_△B2CM1=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{3+3x}{4}$（1+x），
即y=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+6，
當(dāng)自變量x的取值范圍為$\frac{11}{5}$≤x≤4時(shí)，
∴y=S_△PCM1′=$\frac{2}{3}$（x-4）²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，正確的理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．