Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，

∠DCB＝30°.點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng).已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長(zhǎng)是___________ （用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x＝2時(shí)，點(diǎn)G的位置在_______；

⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1)2；（2）①y=，②分兩種情況：Ⅰ．當(dāng)2＜x＜3時(shí)，y=,

Ⅱ．當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y=x²−；(3)當(dāng) x=時(shí)，y_最大=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長(zhǎng)是點(diǎn)E移動(dòng)的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，即可分析出BF=4，此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，則點(diǎn)G和點(diǎn)D重合；

（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；

②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，分兩種情況：當(dāng)2＜x＜3時(shí)和當(dāng)3≤x≤6時(shí)，進(jìn)行計(jì)算；

（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進(jìn)一步比較取其中的最大值即可．

試題解析：

解：（1）∵點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，且F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，

∴BF=2BE=2x，

∴EF=BF-BE=2x-x=x，

∴△EFG的邊長(zhǎng)是x；

過(guò)D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．

在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，

∴DH=CH•tan30°=3×=．

當(dāng)x=2時(shí)，BE=EF=2，

∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點(diǎn)H，

∴EH=HF=1.

∴DE=DF==2，

∴△DEF是等邊三角形，

∴點(diǎn)G的位置在D點(diǎn)．

（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y=；

②分兩種情況：

Ⅰ．當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，

∴GM=（3x-6），

由勾股定理得：MN=（3x-6），

∴S_△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）²，

所以，此時(shí)y=-（3x-6）²=；

Ⅱ．當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，

△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，

∵EC=6-x，

∴y=（6-x）²=x²−；

（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，

∵y=x²，在x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，

∴x=2時(shí)，y_最大=；

當(dāng)2＜x＜3時(shí)，∵y=，在x=時(shí)，y_最大=；

當(dāng)3≤x≤6時(shí)，∵y=x²−；，在x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，

∴x=3時(shí)，y_最大=．

綜上所述：當(dāng) x=時(shí)，y_最大=．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的最值；2.梯形.