Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=7cm，BC=4cm，AB=4cm，現(xiàn)有動點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動，動點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動，連接AQ、PQ，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x s，請問x為何值時(shí)，△APQ為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形

專題：動點(diǎn)型

分析：利用當(dāng)AQ=AP時(shí)，當(dāng)AQ=QP時(shí)，當(dāng)QP=AP時(shí)，利用勾股定理結(jié)合矩形的性質(zhì)分別求出即可．

解答： 解：①如圖1，

當(dāng)x秒時(shí)，AQ=AP，則QC=2x，AP=3x，
故AQ=3x，則AB²+BQ²=AQ²，即4²+（4-2x）²=（3x）²，
解得：x₁=

-8+2 57

5

，x₂=

-8-2 57

5

（不合題意舍去）；
即

-8+2 57

5

秒時(shí)AQ=AP，△APQ為等腰三角形；

②如圖2，

設(shè)當(dāng)t秒時(shí)AQ=QP，過點(diǎn)Q作QE⊥AD于點(diǎn)E，
∵AQ=QP，QE⊥AP，
∴AE=EP，
∴BQ=AE，則QC=2t，BQ=AE=4-2t，AP=3t，
故

3t

2

=4-2t，
解得：t=

8

7

，
即

8

7

秒時(shí)，AQ=QP，△APQ為等腰三角形；

③如圖3，

設(shè)當(dāng)y秒時(shí)QP=AP，過點(diǎn)Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，
則BQ=AF=4-2y，PF=3y-（4-2y）=5y-4，QP=AP=3y，
故PF²+QF²=QP²，
則（5y-4）²+4²=（3y）²，
整理得：4y²-5y+8=0，
b²-4ac=25-126=-101＜0，故此方程無實(shí)數(shù)根，
則QP≠AP．
綜上所述：

-8+2 57

5

秒或

8

7

秒時(shí)，△APQ為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了梯形以及勾股定理和一元二次方程的解法，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．