Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；

（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；

（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．

（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），

得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，

∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2﹣2x．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴它的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）．

（2）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．

①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個(gè)單位，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，

此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣3）2﹣1．

②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個(gè)單位，使得點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，

此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣5）2﹣1．

（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n）．

∵DP∥x軸，

∴點(diǎn)D、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，

∴P（2，n）．

∵點(diǎn)P在直線BC上，

∴．

∴平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x﹣1．

∴新拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣2）．

∴MC∥OB，

∴∠MCP＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，

由題意得：OC＝2，，

∴．

即∠MCP的正弦值是．