Question

9．如圖，正比例函數(shù)的圖象與x軸正方向所成角為α度，若它與反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B和點(diǎn)D．
（1）若已知點(diǎn)A（-m，0），C（m，0），不論m取何值，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）若已知點(diǎn)A（-m，0），C（m，0），當(dāng)點(diǎn)B為（P，1）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，則P=$\sqrt{3}$，m=2；
（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（P，1）時(shí)，要使四邊形ABCD是菱形，則AC所在直線(xiàn)解析式為y=-$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 （1）由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得OB=OD，又由OA=OC，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形，即可判定四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）由點(diǎn)B為（p，1），代入反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可求得p的值；然后由當(dāng)AC=BD時(shí)，即OB=OD=OA=OC時(shí)，?ABCD是矩形，求得m的值；
（3）由點(diǎn)B為（p，1），可求得α的值，繼而求得A、C所在直線(xiàn)與y軸的夾角，繼而求得直線(xiàn)AC上點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得答案．

解答 解：（1）∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴OB=OD，
∵點(diǎn)A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC，
∴四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；

（2）∵點(diǎn)B為（p，1），
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
解得：p=$\sqrt{3}$；
∴OB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵當(dāng)AC=BD時(shí)，即OB=OD=OA=OC時(shí)，?ABCD是矩形，
∴m=2；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B為（p，1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（$\sqrt{3}$，1），
∴tanα=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=30°，
∵當(dāng)AC⊥BD時(shí)，?ABCD是菱形，
設(shè)點(diǎn)F在直線(xiàn)AC上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，
∴∠FOH=60°，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（1，-$\sqrt{3}$），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx，
則-$\sqrt{3}$=k，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x．
故答案為：（1）平行四邊形，（2）$\sqrt{3}$，2，（3）y=-$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形與菱形的判定．注意第三問(wèn)中，求得直線(xiàn)AC上一點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．