Question

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定義：函數(shù)y=x（x＞0）的圖象上有兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，x₁、x₂ 均為整數(shù)，AB=4

2

，經(jīng)過點A、B的拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點為C（x₃，y₃），如果x₃為正整數(shù)，那么我們稱這樣的拋物線為線段AB的共生拋物線，
[嘗試]
若A的坐標為（1，1），求此時線段AB的共生拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
[探究]
若線段AB的共生拋物線與x軸的兩個交點為E（m，0），F(xiàn)（n，0），其中m＜n，且m、n均為整數(shù)，我們稱此時的拋物線為完美共生拋物線，求m最小時，線段AB的完美共生拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并求出此時△ABC的面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：[嘗試]根據(jù)條件可求得B點坐標，可知x₃=2或4，設(shè)出頂點式方程，把A、B坐標代入可求得共生拋物線的解析式；
[探究]可設(shè)A為（t，t），則有B為（t+4，t+4），可知x₃=1或3，設(shè)出頂點式方程，把A、B坐標代入可求得共生拋物線的解析式，令y=0，根據(jù)E、F的橫坐標均為整數(shù)可是求得t的最小值，可求得其解析式，可求得A、B、C三點的坐標，計算△ABC的面積即可．

解答：解：[嘗試]：由A（1，1），AB=4

2

，可求得B（5，5），
又由對稱性得頂點橫坐標不可能為3，
可設(shè)拋物線為y=a（x-2）²+k或y=a（x-4）²+k，
當y=a（x-2）²+k時，把A、B兩點坐標代入可得

a+k=1 9a+k=5

，解得

a= 1 2 k= 1 2

，因a＜0，故舍去；
當y=a（x-4）²+k時，把A、B兩點坐標代入可得

9a+k=1 a+k=5

，解得

a=- 1 2 k= 11 2

；
∴線段AB的共生拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-

1

2

（x-4）²+

11

2

；
[探究]：設(shè)A（t，t），由AB=4

2

，
∴B（t+4，t+4），
由又由對稱性得頂點橫坐標不可能為2，
可設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+k或y=a（x-3）²+k，
當y=a（x-t-1）²+k時，把A、B兩點坐標代入可得

a(t-t-1)2+k=t a(t+4-t-1)2+k=t+4

，解得

a= 1 2 k=t- 1 2

，因a＜0，故舍去；
當y=a（x-t-3）²+k時，把A、B兩點坐標代入可得

a(t-t-3)2+k=t a(t+4-t-3)2+k=t+4

，解得

a=- 1 2 k=t+ 9 2

；
∴線段AB的共生拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-

1

2

（x-t-3）²+t+

9

2

，
令y=0，可得（x-t-3）²=2t+9，
∵E、F點的橫坐標均為整數(shù)，
∴2t+9為平方數(shù)，
∴t的最小值為8，
∴線段AB的完美共生拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

（x-11）²+

25

2

，
∴A點坐標為（8，8），B點坐標為（12，12），C點坐標為（-11，

25

2

），
如圖，分別過A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為L、M、N，

則可知AL=8，CN=

25

2

，BM=12，LN=3，MN=1，LM=4，
S_△ABC=S_梯形ALNC+S_梯形CNMB-S_梯形ALMB=

1

2

×（8+

25

2

）×3+

1

2

×（12+

25

2

）×1-

1

2

×（8+12）×4=3．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及一元二次方程的解法、三角形的面積等知識的綜合應(yīng)用．在（1）中確定出頂點的坐標是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況，在（2）用A的坐標表示出二次函數(shù)解析式，再結(jié)合條件確定出t的最小值是解題的關(guān)鍵．本題主要考查新定義的理解，對這類問題準確理解所給出的定義是解題的關(guān)鍵．