Question

27、從自然數(shù)序列：1，2，3，4，…中依次劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)，但其中5的倍數(shù)均保留．劃完后剩下的數(shù)依次組成一個(gè)新的序列：1，2，5，7，…求該序列中第2002個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：因?yàn)?，4，5的最小公倍數(shù)是60，所以可將自然數(shù)序列：1，2，3，4，…以60的倍數(shù)來(lái)分段，先考慮1到60的整數(shù)，其中3的倍數(shù)有20個(gè)，4的倍數(shù)有15個(gè)，既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)的數(shù)有5個(gè)，則劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)還剩60-20-15+5=30個(gè)，又還要保留其中的5的倍數(shù)6個(gè)，這樣還剩36個(gè)，即1到60的整數(shù)中，劃完后剩下36個(gè)，由此推得，每60個(gè)一段中，劃完后剩下36個(gè)．因2002=36×55+22，說(shuō)明2002是56段中的第22個(gè)數(shù)．

解答：解：先考慮1到60的整數(shù)
在1到60的整數(shù)中，3的倍數(shù)有20個(gè)，4的倍數(shù)有15個(gè)，既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)的數(shù)有5個(gè)，所以劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)還剩60-20-15+5=30個(gè)．
又因?yàn)槠渲?的倍數(shù)有6個(gè)，需要保留，所以劃完后剩下30+6=36個(gè)
因?yàn)?，4，5的最小公倍數(shù)是60，所以每60個(gè)整數(shù)一段中，劃完后均剩下36個(gè)．
因?yàn)?002=36×55+22，所以第2002個(gè)數(shù)是56段中的第22個(gè)數(shù)．
又因?yàn)榈谝欢沃械牡?2個(gè)數(shù)是37，
所以該序列中第2002個(gè)數(shù)是55×60+37=3337．
答：該序列中第2002個(gè)數(shù)是3337．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性的知識(shí)，最小公倍數(shù)的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是以60做為分段．