Question

如果ρ與ρ+2都是大于3的質數(shù)，那么請證明：6是ρ+1的約數(shù)．

Answer 1

考點：質數(shù)與合數(shù),約數(shù)與倍數(shù)

專題：分類討論

分析：由于ρ是大于3的質數(shù)，因此可分ρ＜6和ρ＞6兩種情況討論．當ρ＜6時，顯然ρ=5．則6是ρ+1的約數(shù)；當ρ＞6時，由于ρ是大于3的質數(shù)，因此ρ是奇數(shù)，故有三種可能：ρ=6n+1或ρ=6n+3或ρ=6n+5，其中n為正整數(shù)．運用反證法可排除ρ=6n+1及ρ=6n+3兩種情況，只有ρ=6n+5，此時ρ+1=6（n+1），則6是ρ+1的約數(shù)．

解答：解：（1）當ρ＜6時，
∵ρ與ρ+2都是大于3的質數(shù)，
∴ρ=5．
∴ρ+1=6．
∴6是ρ+1的約數(shù)．
（2）當ρ＞6時，
∵ρ是大于3的質數(shù)，
∴ρ是奇數(shù)．
∴ρ=6n+1或ρ=6n+3或ρ=6n+5，其中n為正整數(shù)．
①若ρ=6n+1，其中n為正整數(shù)，
則ρ+2=6n+3=3（2n+1）是3的倍數(shù)．
與條件“ρ+2是大于3的質數(shù)”矛盾，
故ρ≠6n+1．
②若ρ=6n+3，其中n為正整數(shù)，
則ρ=6n+3=3（2n+1）是3的倍數(shù)．
與條件“ρ是大于3的質數(shù)”矛盾，
故ρ≠6n+3．
所以ρ=6n+5，其中n為正整數(shù)．
此時ρ+1=6n+6=6（n+1），
則6是ρ+1的約數(shù)．
綜上所述：如果ρ與ρ+2都是大于3的質數(shù)，那么6是ρ+1的約數(shù)．

點評：本題考查了質數(shù)、約數(shù)等知識，考查了分類討論、排除法、反證法等思想方法，注重對能力的考查，是一道好題．