Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．折疊紙片使點(diǎn)B落在AD上，落點(diǎn)為B′．點(diǎn)B′從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD移動(dòng)，折痕所在直線(xiàn)l的位置也隨之改變，當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B′停止移動(dòng)，連接BB′．設(shè)直線(xiàn)l與AB相交于點(diǎn)E，與CD所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)F，點(diǎn)B′的移動(dòng)距離為x，點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離為y．

（1）求證：∠BEF=∠AB′B；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：如圖，由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，

∴在等腰△BEB′中，EF是角平分線(xiàn)，

∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，

∴∠ABB′+∠BEF=90°，

∵∠ABB′+∠AB′B=90°，

∴∠BEF=∠AB′B；

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)F在CD之間時(shí)，如圖1，作FM⊥AB交AB于點(diǎn)E，

∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，

∴在RT△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣AE）²=AE²+x²

解得AE=，

tan∠AB′B==，tan∠BEF==，

∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，

∴=，

化簡(jiǎn)，得y=x²﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2所示．

設(shè)直線(xiàn)EF與BC交于點(diǎn)K

設(shè)∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，則tanθ==．

BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．

∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．

在Rt△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣BE）²+x²=BE²

解得BE=．

∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x²+x﹣3

∴y=﹣x²+x﹣3（8﹣2＜x≤6）

綜上所述，

y=．