Question

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，且=k，過E作EF∥AB交AC的延長線于F．
（1）如圖1，當k=1時，求證：AF+EF=AB；
（2）如圖2，當k=2時，直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足得數量關系：______；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，若AB=9，tan∠DAF=，AE=2，且AF＞EF，求邊AC的長．

Answer 1

（1）證明：延長AD、EF交于點G，
當k=1時，DE=BD
∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，BD=ED，
∴△ABD≌△GED，
∴AB=GE，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=AB

（2）解：根據（1）可得線段AF、EF、AB之間滿足數量關系：AF+EF=2AB；

（3）解：延長AD、EF交點為G．
由（1）（2）可知：FG+EF=2AB=18，即GE=18．
過點A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G=tan∠DAF=．
即∴GH=2AH
設AH=x，則GH=2x，HE=18-2x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+，解得，
當AH=8時，GH=16，設FH=a，則AF=16-a，在Rt△AFH中，
由勾股定理可得：8²+a²=（16-a）²，
解得a=6，AF=10，EF=8，成立．
當AH=時，同理可求FH=4.8，AF=8，EF=10．
∵AF＞EF，∴此種情況不成立．
∵EF∥AB，∴∠ABC=∠FEC，又∵∠ACB=∠FCE．
∴△ABC∽△FEC，
∴即
∴AC=．
分析：（1）延長AD、EF交于點G，當k=1時，DE=BD，再根據∠BDA=∠EDG，BD=ED，證出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因為∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，
即可證出AF+EF=AB；
（2）當k=2時，根據（1）即可直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足得數量關系；
（3）延長AD、EF交點為G，由（1）（2）可知GE=18，過點A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，，所以GH=2AH，設AH=x，則GH=2x，HE=18-2x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+，解得，當AH=8時，在Rt△AFH中，8²+a²=（16-a）²，解得a=6，AF=10，EF=8，成立，當AH=時，因為AF＞EF，此種情況不成立，因為EF∥AB，所以∠ABC=∠FEC，又因為∠ACB=∠FCE，可以得出△ABC∽△FEC，所以即，即可求出AC的值．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，關鍵是根據相似三角形的性質列出方程，要注意的是（3）中，要進行分類求解．