Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．點P、Q分別是BC邊和AB邊上的動點，點P從點C向點B運動，點Q從點A向點B運動，QR⊥BC，垂足為R，設(shè)P、Q同時運動，并且當P運動4x單位長度時，Q運動5（1-x）單位長度．是否存在x的值，使以P、Q、R為頂點的三角形與△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，當若點P，R，Q分別與點P，C，A對應(yīng)，當若點P，R，Q分別與點A，C，P對應(yīng)，分別分析得出x的長度即可．
解答：解：存在x的值，使以P，Q，R為頂點的三角形與△ACP相似．
∵BQ=5x，有相似三角形求得：BR=4x，QR=3x，
①當P在C，R之間時，PR=4-8x，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：，
∴x₁=-1，x₂=--1（舍），
②當P在B，R之間時，PR=8x-4，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：，
∴x₁=x₂=1（舍）
綜上所述：存在x的值，x₁=-1，x₂=，x₃=．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)P和R點不同位置進行分析，解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關(guān)鍵．