Question

已知拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=與x軸相交于B點，與直線AM相交于N點；直線AM與x軸相交于C點
（1）求M的坐標與MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如圖，將△NBC沿x軸翻折，若N點的對應點N′恰好落在拋物線上，求a的值；
（3）在拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在一點P，使得以P、B、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）已知拋物線：y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1；
∴M（-1，a+1），
易知：A（0，a），設直線MA的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得，
∴直線MA：y=-x+a；

（2）聯(lián)立直線MA、直線BN的解析式有：
，
解得
故N（，a）；
由題意知：N、N′關于x軸對稱，那么N′（，-）；
若點N′在拋物線的圖象上，則有：
-（）²-+a=-，
解得a=9．
故點N′恰好落在拋物線上時，a=9；

（3）分別過B、C、N作NC、BN、BC的平行線（如圖），則四邊形BP₁CN、四邊形BCP₂N、四邊形BCNP₃都是平行四邊形；
易知B（-a，0），C（a，0），N（，）；
故P₁（-a，-a），P₂（a，a），
P₃（-a，a）；
把P₁代入拋物線的解析式中，得：
-（-a）²-2（-a）+a=-a，
解得a=21；
把P₂代入拋物線的解析式中，得：
-（a）²-2×a+a=a，
解得a=-；
由于a＞0，
故此種情況不成立；
把P₃代入拋物線的解析式中，得：
-（-a）²-2（-a）+a=a，
解得a=；
綜上所述，存在符合條件的P點，且此時a的值為：a₁=，a₂=21．
分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可求得點M的坐標；易知點A坐標為（0，a），利用待定系數(shù)法即可求得直線MA的解析式；
（2）聯(lián)立直線MA、直線BN的解析式，即可求得點N的坐標，由于點N、N′關于x軸對稱，那么它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，由此可求得點N′的坐標，再將其代入拋物線的解析式中，即可求得a的值；
（3）分別過B、C、N作NC、BN、BC的平行線，三線相交于P₁、P₂、P₃三點，則四邊形BP₁CN、四邊形BCP₂N、四邊形BCNP₃都是平行四邊形，易求得B、C的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質即可得到P₁、P₂、P₃的坐標，然后將它們分別代入拋物線的解析式中，即可求得a的值．
點評：此題考查了一次函數(shù)解析式的確定、關于x軸對稱的點的坐標特征、函數(shù)圖象上的點的坐標意義以及平行四邊形的判定和性質等知識．（3）題中，一定要把所有的情況都考慮到，做到不漏解．