Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，AD平分EP，試判斷以EP為直徑的圓與直線AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，在Rt△ABD中，利用勾股定理計(jì)算出AD=8，由點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EF∥BD得到EF為△ABD的中位線，則EF=$\frac{1}{2}$BD=3，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=4，再利用“AAS”證明△OEF≌△OPD，則OF=OD=$\frac{1}{2}$DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，由勾股定理求出OE=$\sqrt{13}$，證明Rt△AOH∽R(shí)t△ACD，利用相似比計(jì)算出OH，再比較OE與OH的大小，即可得出結(jié)果．

解答 解：以EP為直徑的圓與直線AC相交．理由如下：
作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如圖所示，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=8，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
而EF∥BD，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=3，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=4，
∵AD平分EP，
∴OE=OP，
∴OE=OP，
在△OEF和△OPD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFO=∠PDO}&{\;}\\{∠EOF=∠POD}&{\;}\\{OE=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△OPD（AAS），
∴OF=OD，
∴OF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴AO=AF+OF=6，
在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，
∴OE=$\sqrt{E{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠OAH=∠CAD，
∴Rt△AOH∽R(shí)t△ACD，
∴OH：CD=AO：AC，
即OH：6=6：10，
解得OH=$\frac{18}{5}$，
∵OE=$\sqrt{13}$=$\frac{\sqrt{325}}{5}$，OH=$\frac{18}{5}$=$\frac{\sqrt{324}}{5}$，
∴OE＞OH，
∴以EP為直徑的圓與直線AC相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的位置關(guān)系的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等和三角形相似才能得出結(jié)論．