Question

9．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1，點M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點N（n，0）．設(shè)點M轉(zhuǎn)過的路程為m（0＜m＜1），隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從$\frac{1}{3}$變化到$\frac{2}{3}$時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 當(dāng)m從$\frac{1}{3}$變化到$\frac{2}{3}$時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點和終點位置即可解決問題．當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時，連接PM，如圖1，點M從點A繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的$\frac{1}{3}$，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為120°，則∠APM=120°，根據(jù)PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中運用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時，連接PM，如圖2，點M從點A繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的$\frac{2}{3}$，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240°，則∠APM=120°，同理可求出ON的長，問題得以解決．

解答 解：①當(dāng)m=$\frac{1}{3}$時，連接PM，如圖1，

∠APM=$\frac{1}{3}$×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
②當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時，連接PM，如圖2，

∠APM=360°-$\frac{2}{3}$×360°=120°，
同理可得：NO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
綜合①、②可得：點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，若動點的運動路徑是一條線段，常�？赏ㄟ^考慮臨界位置（動點的始點和終點）來解決．