Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．
（1）若∠B=72°，求∠CAD的度數(shù)；
（2）若AB=13，AC=12，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）由AB是半圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠C=90°，繼而求得∠CAB的度數(shù)，又由OD∥BC，OA=OD，即可求得∠OAD的度數(shù)，繼而求得答案；
（2）由AB=13，AC=12，可求得C的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，可知OE是△ABC的中位線(xiàn)，則可求得OE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠C=90°，
∵∠B=72°，
∴∠CAB=90°-∠B=18°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=72°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=54°，
∴∠CAD=∠OAD-∠CAB=36°；

（2）∵AB=13，AC=12，
∴BC=

AB2-AC2

=5，
∵OD∥BC，∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴OE

1

2

BC=2.5，
∵OD=OA=

1

2

A=6.5，
∴DE=OD-OE=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．