Question

下面讓我們來探究有關材料的利用率問題：工人師傅要充分利用一塊邊長為100cm的正三角形簿鐵皮材料（如圖1）來制作一個圓錐體模型（制作時接頭部分所用材料不考慮）．
（1）求這塊三角形鐵皮的面積（結果精確到0.01cm²）；
（2）假如要制作的圓錐是一個無底面的模型，且使三角形鐵皮的利用率最高，請你在圖2中畫出裁剪方案的草圖，并計算出鐵皮的利用率（精確到1%）；
（3）假如要用這塊鐵皮裁一塊完整的圓形和一塊完整的扇形，使之配套，恰好做成一個封閉圓錐模型，且使鐵皮得到充分利用，請你設計一種裁剪方案，在圖3中畫出草圖，并計算出鐵皮的利用率（精確到1%）．

Answer 1

分析：（1）過點A作等邊三角形的高，根據(jù)∠C=60°，求得高的長，根據(jù)三角形的面積公式求得面積．
（2）如圖：當扇形與BC邊相切時，三角形鐵皮的利用率最高，根據(jù)扇形的面積S=

nπR2

360

求得面積．
（3）如圖，扇形與⊙O相切于點E，⊙O與等邊三角形的兩邊也相切，使得⊙O的周長與扇形的弧相等時，便能作成一個封閉圓錐模型．也可以使扇形與⊙O相切于等邊三角形的高上，⊙O與等邊三角形的邊相切，也使得⊙O的周長與扇形的弧相等．

解答：解：（1）過點A作AD⊥BC于點D．
∵△ABC是等邊三角形，
∴BD=

1

2

BC=50，（2分）
根據(jù)勾股定理得：AD=

1002-502

=50

3

，（3分）
∴S_△ABC=

1

2

×100×50

3

=2500

3

≈4330．（4分）

（2）如圖：當扇形與BC邊相切時，三角形鐵皮的利用率最高．（6分）
S=

60

360

×π×(50

3

)2
=

1

6

×π×7500
=1250π≈3925
∴利用率≈

3925

4330

×100%≈91%．
（8分）


（3）方案1：
如圖，扇形與⊙O相切于點E，⊙O與BC相切于點E，
則A，E，O，D在同一直線上，且AE⊥BC．（9分）
設扇形半徑為x，⊙O半徑為y，
則有x+2y=50

3

60πx

180

=2πy（10分）
y=

25

4

3

≈54.13
x=

75

2

3

≈65.0
∴利用率≈60%．（13分）

方案2：
如圖，⊙O與半圓⊙D相切于點E，⊙O與AB，AC相切于點F，G，
連接OF，則OF⊥AB，設⊙D的半徑為x，設⊙O的半徑為y，
∵∠BAD=30°，
∴AO=2y．（9分）
3y+x=50

3

πx=2πy（10分）（13分）
∴x=20

3

y=10

3

（12分）
利用率≈65%．（13分）
方案3：
如圖，扇形與⊙O相切于點E，⊙O與AB，BC分別相切于點F，G，
連接A0，0F，OB，
則AO過點E，OF⊥AB，BO平分∠ABC，
設⊙O的半徑為y，扇形的半徑為x，
則有OB=2y，BF=

3

y．（9分）
∵

60πx

180

=2πy，
∴x=6y，（10分）
∴AF=

(7y)2-y2

=

48

y=4

3

y．
∵AF+BF=100，
∴4

3

y+

3

y=100，
∴y=

20

3

3

x=40

3

（12分）
利用率≈68%．（13分）

點評：本題利用了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長公式，弧長公式，扇形面積公式求解．