Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，點(diǎn)P和Q同時(shí)從A、C出發(fā)，點(diǎn)P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）t為何值時(shí)，四邊形APQD是矩形；
（2）t為何值時(shí)，四邊形BCQP是等腰梯形；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）主要考查矩形的性質(zhì)，即只需AP=DQ即可，
（2）考查等腰梯形的判定，在移動(dòng)過程中滿足兩腰相等即可．
（3）可先假設(shè)其存在，即題中假設(shè)梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積相等，然后分別求出周長(zhǎng)及面積，若得出結(jié)果與假設(shè)一致，則假設(shè)正確，反之，則假設(shè)不成立．

解答：解：（1）AP=DQ時(shí)，四邊形APQD是矩形，即4t=12-t，解得，t=

12

5

（s）．

（2）過Q、C分別作QE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．
∵AB=20cm，BC=10cm，DC=12cm，∴BF=PE=8cm，CF=AD=6cm．
∵AE=DQ，即4t+8=12-t，解得，t=

4

5

（s）．

（3）∵梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積分別為：
周長(zhǎng)=20+10+12+6=48cm面積=

(12+20)×6

2

=96（cm²）
若當(dāng)線段PQ平分梯形ABCD周長(zhǎng)時(shí)，則AP十DQ+AD=

1

2

×48=24，
即4t+12-t+6=24，解得t=2，
此時(shí)，梯形APQD的面積為

(8+10)×6

2

=54≠

1

2

×96=48．
∴不存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握矩形以及等腰梯形的性質(zhì)及判定定理．