Question

13．已知直線y=$\frac{3}{4}$x+4，P是拋物線y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²上任意一點，當(dāng)點P到直線的距離最小時，求P點坐標(biāo)及最小距離．

Answer 1

分析 設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+m與拋物線相切，利用平行線的性質(zhì)可得出點P為直線y=$\frac{3}{4}$x+m與拋物線的切點，將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中利用根的判別式△=0可求出m值，聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可求出點P的坐標(biāo)，設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+4與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$交y軸的交點為D，過點B作BC⊥直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$于點C，由同角的余角相等可得出∠CB0=∠BAO，再通過解直角三角形即可求出BC的長度，此題得解．

解答 解：設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+m與拋物線相切，
將y=$\frac{3}{4}$x+m代入拋物線y=-$\frac{1}{16}$（x-8）²，整理得：x²-4x+64+16m=0，
∵兩函數(shù)圖象相切，
∴△=（-4）²-4×（64+16m）=0，
解得：m=-$\frac{15}{4}$．
聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{1}{16}（x-8）^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標(biāo)為（2，-$\frac{9}{4}$）．
設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+4與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$交y軸的交點為D，過點B作BC⊥直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$于點C，如圖所示．
則點A（-$\frac{16}{3}$，0），點B（0，4）．
∴tan∠BAO=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$．
∵∠BAO+∠ABO=∠ABO+∠CBO=90°，
∴∠CB0=∠BAO．
∴BC=BD•cos∠CBO=[4-（-$\frac{15}{4}$）]×$\frac{4}{5}$=$\frac{31}{5}$．
∴當(dāng)點P到直線的距離最小時，P點坐標(biāo)為（2，-$\frac{9}{4}$），最小距離為$\frac{31}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行線的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及解直角三角形，利用平行線的性質(zhì)確定點P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．