Question

20．如圖，在△OAC中，以點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于點B，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若OA=10，OD=2，求線段AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)“等角對等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質(zhì)可以在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理來求AC的長度．

解答 解：（1）AC是⊙O的切線．
證明：∵點A，B在⊙O上，
∴OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB，
∵∠CAD=∠CDA=∠BDO，
∴∠CAD+∠OAB=∠BDO+∠OBA，
∵BO⊥OC，
∴∠BDO+∠OBA=90°，
∴∠CAD+∠OAB=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半經(jīng)，
∴AC是⊙O的切線；

（2）設(shè)AC的長為x．
∵∠CAD=∠CDA，
∴CD的長為x．
由（1）知OA⊥AC，
∴在Rt△OAC中，OA²+AC²=OC²，
即10²+x²=（2+x）²，
∴x=24，
即線段AC的長為24．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．