Question

16．如圖，已知，拋物線l₁：y=ax²-4ax+5+4a（a＜0）的頂點(diǎn)為A，直線l₂：y=kx+3過點(diǎn)A，直線l₂與拋物線l₁及y軸分別交于B，C．
（1）求k的值；
（2）若B為AC的中點(diǎn)，求a的值；
（3）在（2）的條件下，直接寫出不等式ax²-4ax+5+4a＜kx+3的解集．

Answer 1

分析 （1）先把拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+3可求出k的值；
（2）先利用一次函數(shù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到B點(diǎn)坐標(biāo)，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-2）²+5可求出a的值；
（3）觀察圖象，找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可得到不等式ax²-4ax+5+4a＜kx+3的解集．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+5+4a=a（x-2）²+5，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，5），
∵y=kx+3過點(diǎn)A（2，5），
∴2k+3=5，
∴k=1；
（2）∵一次函數(shù)的解析式為y=x+3，
∴C（0，3），
∵B為AC的中點(diǎn)，
∴B（1，4），
把B（1，4）代入y=a（x-2）²+5得a+5=4，
∴a=-1；
（3）不等式ax²-4ax+5+4a＜kx+3的解集為x＜1或x＞2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；會利用圖象法解不等式；記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．