Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（，）的拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）， 已知點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn)， 如果以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于，兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，的面積最大？并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積.

 

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線為.

       ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3），∴.∴.

       ∴拋物線為. 

 (2) 答：與⊙相交

證明：當(dāng)時，，.

        ∴為（2，0），為（6，0）.∴

       設(shè)⊙與相切于點(diǎn)，連接，則.

      ∵，∴.

      又∵，∴.∴∽.

     ∴.∴.∴

     ∵拋物線的對稱軸為，∴點(diǎn)到的距離為2.

     ∴拋物線的對稱軸與⊙相交. 

(3)：如圖，過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn)。

可求出的解析式為.…………………………………………1分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.

       ∴.

       ∵,

        ∴當(dāng)時，的面積最大為.

        此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）.  …………………………………………3分