Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝()AD， 以AD為邊作等邊三角形ADE，則∠BEC＝______.

Answer 1

【答案】75°或165°

【解析】

過點A作AF∥CD交于F，可得四邊形AFCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得AD=FC,AF=CD，再求出BF，根據勾股定理逆定理判定△ABF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠ABF=45°，根據平行線的性質求出∠BAD=135°，然后分①點E在AD上方，根據周角等于360°求出∠BAE，根據等腰三角形的性質求出∠ABE，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解；②點E在AD下方，求出∠BAE,再根據等腰三角形的性質求出∠ABE，然后求出∠CBE，再利用三角形的內角和列式計算即可.

在等腰梯形ABCD中，AB=CD，

過點A作AF∥CD交BC于F，

∵AD∥BC，

∴四邊形AFCD是平行四邊形，

∴AD=FC,AF=CD

∵AB＝AD，BC＝()AD，

∴BF=BC-FC=()AD-AD=AD，

在△ABF中，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴∠ABF=45°

∵AD∥BC，

∴∠BAD=180°-∠ABF=135°

于是①如圖1，等邊三角形ADE的頂點E在AD的上方時，

∠BAE=360°-60°-135°=165°

∵AB=AD=AE，

∴∠ABE=（180°-165°）=7.5°

∴∠CBE=∠ABF+∠ABE=45°+7.5°=52.5°，

同理得∠BCE=52.5°

∴∠BEC=180°-52.5°×2=75°

另②如圖2，等邊三角形ADE的頂點E在AD的下方時，

∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-60°=75°

∵AB=AD=AE，

∴∠ABE=（180°-75°）=52.5°

∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°+7.5°=7.5°，

∴∠BEC=180°-7.5°×2=165°

故答案為75°或165°