Question

15．以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AD是大圓的直徑，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，過C點(diǎn)作FH⊥AD交大圓于F、H，垂足為E．
（1）判斷AC與BC的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）如果FC、CH的長(zhǎng)是方程x²-2$\sqrt{5}$x+4=0的兩根（CH＞CF），求CE、CA的長(zhǎng)以及圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）相等，主要根據(jù)是垂徑定理，從已知條件中可知AB為大圓的弦，且垂直于半徑，所以相等．
（2）先解方程求出根，再觀察圖發(fā)現(xiàn)陰影部分圖形的周長(zhǎng)就是一段弧長(zhǎng)加一線段，分別計(jì)算相加．

解答 （1）解：相等．
連接OC，則CO⊥AB，故AC=BC．

（2）解：解方程得：CH=$\sqrt{5}$+1，CF=$\sqrt{5}$-1，
∴CE=EF-FC=EH-FC=$\sqrt{5}$-（$\sqrt{5}$-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=$\frac{CE}{AC}$，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠CON=120°．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
陰影部分的面積=S_△ACO+S_扇形=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{120π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．