Question

如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，過點(diǎn)A作射線AA_l∥BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，過點(diǎn)Q作QE⊥BC交射線AA₁于E，F(xiàn)是QE中點(diǎn)，連結(jié)PF．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求PQ的長（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△FQP與△BDP相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；運(yùn)用t的取值范圍，直接寫出PQ的長度，即可解決問題．
（2）求出AG、QF的長度；運(yùn)用（1）中的結(jié)論，結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想，列出比例式逐一解析，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G；
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BG=CG=3，AG=4；
PQ=

-2t+6，0≤t≤3 2t-6，t＞3

．
（2）在Rt△ABG中，
由勾股定理得：
AG²=25-9，
∴AG=4；易知：EQ=AG=4，
∴FQ=

1

2

EQ=2；
由（1）知：當(dāng)0≤t≤3時(shí)，
若△PBD∽△PFQ，則

BD

FQ

=

PD

PQ

，
∴

BD

PD

=

FQ

PQ

，而tan∠B=

PD

BD

=

AG

BG

=

4

3

，
∴

3

4

=

2

-2t+6

，
解得：t=

5

3

；
若△PBD∽△FPQ，
則

BD

PQ

=

PD

FQ

，
∴

BD

PD

=

PQ

FQ

，而tan∠B=

PD

BD

=

AG

BG

=

4

3

，
∴

3

4

=

-2t+6

2

，
解得：t=

9

4

；
當(dāng)t＞3時(shí)，運(yùn)用與上述類似的方法可求得：
t=

13

3

或

15

4

，
綜上所述，當(dāng)△FQP與△BDP相似時(shí)，
t=

5

3

或

9

4

或

13

3

或

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想來分析、判斷、推理或解答．