Question

如圖在等腰Rt△A₀B₀C₀中，A₀（0，0）、C₀（-12，0），B₀C₀⊥A₀C₀且B₀C₀=A₀C₀，以點P（9，0）為圓心，PO為半徑的作⊙P，△A₀B₀C₀以每秒鐘一個單位的速度沿x軸向右移動，移動時間記為t秒，移動的三角形記為△ABC．（點A₀對應A，點B₀對應B，點C₀對應C）
（1）如圖，若點A為⊙P與x軸的另一個交點，BO交⊙P于D，AD交BC于E．
①求證：AE=BO；
②過C作CM⊥AE于M，交AB于N，求證：∠AEC=∠BEN；
（2）若F為AB邊上的點，且AF=8

2

，若線段AF與⊙P有且只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，要證AE=BO，只需證到△OCB≌△ECA即可．
（2）如圖2，易證△ACN∽△AOB，從而可求出AN及BN的長，進而可證到△EBN∽△CAN，則有∠BEN=∠ACN．易證∠AEC=∠ACN，即可得到∠AEC=∠BEN．
（3）只需先考慮臨界位置[點F在⊙P上（圖3、圖4）、點A在⊙P上（圖2）、線段AF與⊙P相切（圖5）]所對應的t的值，就可求出符合條件的t的取值范圍．

解答：解：（1）證明：如圖1，
∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ODA=90°，即∠DOA+∠DAO=90°．
∵∠BCA=90°，即∠BOC+∠OBC=90°．
∴∠DAO=∠OBC．
在△OCB和△ECA中，

∠OBC=∠EAC BC=AC ∠OCB=∠ECA

．
∴△OCB≌△ECA．
∴BO=AE．

（2）證明：如圖2，
∵A₀（0，0）、C₀（-12，0），∴A₀C₀=12．
∴BC=AC=A₀C₀=12．
∴AB=

BC2+CA2

=12

2

．
∵點P的坐標為（9，0），
∴OA=2OP=18．
∴OC=6．
∵△OCB≌△ECA，
∴OC=EC=6．
∴BE=6．
∵CM⊥AE，即∠AMC=90°，∠ODA=90°，
∴∠AMC=∠ODA．
∴CN∥OB．
∴△ACN∽△AOB．
∴

AN

AB

=

AC

AO

．
∴AN=8

2

．
∴BN=4

2

．
∵

BN

BE

=

4 2

6

=

2 2

3

，

AN

AC

=

8 2

12

=

2 2

3

，
∴

BN

BE

=

AN

AC

．
∵∠EBN=∠CAN=45°，
∴△EBN∽△CAN．
∴∠BEN=∠ACN．
∵∠AEC=90°-∠EAC=∠ACN，
∴∠AEC=∠BEN．

（3）①當點F在⊙P上時，
Ⅰ．如圖3，過點F作FH⊥OA于H，連接PF．
在Rt△AHF中，
∵AH=8，∠FAH=45°，AF=8

2

，
∴FH=AF•sin∠FAH=8

2

×

2

2

=8，
AH=AF•cos∠FAH=8

2

×

2

2

=8．
在Rt△PHF中，
PH=

PF2-FH2

=

92-82

=

17

．
∴PA=AH-PH=8-

17

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+8-

17

=17-

17

．
此時，t=17-

17

．
Ⅱ．如圖4，過點F作FH⊥OA于H，連接PF．
同理可得：AH=8，PH=

17

．
∴PA=AH+PH=8+

17

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+8+

17

=17+

17

．
此時，t=17+

17

．
②當點A在⊙P上時，如圖2．
則有A₀A=OA=18．
此時，t=18．
③當線段AF與⊙P相切于點Q時，連接PQ，如圖5．
則有PQ=9，∠PQA=90°．
在Rt△PQA中，
sin∠QAP=

PQ

PA

=

9

PA

=

2

2

．
解得：PA=9

2

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+9

2

．
此時，t=9+9

2

．
綜上所述：當線段AF與⊙P有且只有一個公共點時，t的取值范圍是0≤t≤17-

17

或18≤t＜17+

17

或t=9+9

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學思想，而考慮臨界位置是求未知數(shù)取值范圍常用的一種方法，應掌握它．