Question

在三角形ABC中，AD是中線，GD=

1

3

AD．
求證：BF、CE是中線．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：證明題

分析：過點(diǎn)D作DH∥AB交CF于H，如圖，利用AF∥DH可判斷△AFG∽△DHG，利用相似比可得AF=2GD，再利用DH∥BF得到△CDH∽△CBF，利用相似比可得BF=2DH，則AF=BF，于是可說明CF為中線，用同樣的方法可得BE為中線．

解答：證明：過點(diǎn)D作DH∥AB交CF于H，如圖，
∵AF∥DH，
∴△AFG∽△DHG，
∴

AF

DH

=

AG

GD

，
∵GD=

1

3

AD，
∴AG=2GD，
∴

AF

GD

=2，即AF=2GD，
∵DH∥BF，
∴△CDH∽△CBF，
∴

DH

BF

=

CD

CB

，
而AD為中線，
∴BC=2CD，
∴BF=2DH，
∴AF=BF，
∴CF為中線，
同理可得BE為中線．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．