Question

【題目】以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B．

（1）如圖一，動點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動，與此同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動．若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度比點(diǎn)P的運(yùn)動速度慢，經(jīng)過1秒后點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（2，0），此時(shí)PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大��；

（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動，點(diǎn)P停留在點(diǎn)（2，0）處不動，求點(diǎn)Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長．

Answer 1

【答案】（1）∠QOP=60°；（2）QD=.

【解析】（1）解：如圖一，連結(jié)AQ．

由題意可知：OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A為OP的中點(diǎn).

∵PQ與相切于點(diǎn)Q,

∴為直角三角形.

∴.

即ΔOAQ為等邊三角形.

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動1秒時(shí)經(jīng)過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度

繼續(xù)運(yùn)動，那么再過5秒，則Q點(diǎn)落在與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)處（如圖二）.

設(shè)直線PQ與的另外一個(gè)交點(diǎn)為D，過O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn).

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,

∴QP=.

∵,

∴OC=.

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,

∴QC=.

∴QD=．

（1）利用切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)

（2）關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的運(yùn)動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．