Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB邊上的一個動點（異于A、B兩點），過點P作PQ⊥AC與Q，以PQ為邊向下作等邊三角形PQR，設(shè)AP=x，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，連接RB．
（1）當x=2時，求y的值；
（2）求證：QR∥AB；
（3）當R落在BC邊上時，判斷四邊形PQRB的形狀，并求出此時x的值．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30°所對邊與斜邊的關(guān)系得出即可；
（2）首先得出∠APQ=60°，進而得出∠PQR=60°，即可得出∠APQ=∠PQR，得出即可；
（3）首先利用四邊形對邊之間的關(guān)系得出四邊形PQRB是平行四邊形，進而得出QR=PQ，即可得出平行四邊形PQRB是菱形，進而利用菱形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，∴QP=

1

2

AP=1，
∴等邊三角形PQR的高為：

3

2

，
此時△PQR在△ABC內(nèi)，y=S_△PQR=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；

（2）證明：∵PQ⊥AC，∠A=30°，
∴∠APQ=60°，
∵等邊三角形PQR，
∴∠PQR=60°，
∴∠APQ=∠PQR，
∴QR∥BC；

（3）當R在BC上時，∵PQ⊥AC，∴∠AQP=90°，
∵∠C=90°，∴∠AQP=∠C，∴PQ∥BC，
∵QR∥AB，∴四邊形PQRB是平行四邊形，
∵△PQR是等邊三角形，∴QR=PQ，
∴平行四邊形PQRB是菱形，
∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=PB=

1

2

x，
∴x+

1

2

x=10，
解得：x=

20

3

，
當R落在BC邊上時，四邊形PQRB是菱形，此時x的值是

20

3

．

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練根據(jù)利用等邊三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．