Question

（2012•門(mén)頭溝區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BC于D，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四邊形ACEF的面積．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H．根據(jù)全等三角形的判定定理ASA判定△AEF≌△EAC；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知EF=AC；結(jié)合已知條件知EF∥AC，所以根據(jù)“對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得四邊形EFAC是平行四邊形；在直角三角形ABC中根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)度，從而知2EH=BC，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．

解答：解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，AE=BE，
∴AE=BE=CE（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半）．
∴∠EAC=∠ECA（等邊對(duì)等角）．
∵AF=CE（已知），
∴AE=AF（等量代換），
∴∠F=∠FEA（等邊對(duì)等角）．
∵ED⊥BC（已知），
∴∠BDF=90°，BD=DC．
∴∠BDF=∠ACB=90°．
∴FD∥AC，∴∠FEA=∠EAC．
∴∠F=∠ECA．
∵AE=EA，
∴△AEF≌△EAC，∴EF=AC，
∴四邊形FACE是平行四邊形；
∵EH⊥AC，∴∠EHA=90°．
∵∠BCA=90°，∠EHA=∠BCA．
∴BC=4

2

，EH∥BC．
∴AH=HC．
∴EH=

1

2

BC=2

2

，
∴S_{平行四邊形ACEF}=AC×EH=2×2

2

=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．