Question

傾聽理解：
這是一次數(shù)學活動課上，兩個同學利用計算機軟件探索函數(shù)問題，下面是他們的交流片斷：

問題解決：
（1）填空：圖②中，小蘇發(fā)現(xiàn)的

MN

PM

=

 

；
（2）記圖①，圖②中MN為d₁，d₂，分別求出d₁，d₂與m之間的函數(shù)關系式．
拓廣探索：
（3）如圖③，直線x=m（m＞0）分別交x軸，拋物線y=x²-4x和y=x²-3x于點P，M，N，設A，B為拋物線y=x²-4x，y=x²-3x與x軸的另一交點．當m為何值時，線段OP，PM，PN，MN中有三條能圍成等邊三角形？并直接寫出此時點A，B，M，N圍成的圖形的面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把當x=m分別代入反比例函數(shù)的解析式，求出M點的縱坐標和N點的縱坐標，進而求出MN的長，則

MN

PM

值可求出；
（2）當x=m時，則M點的縱坐標為m，N點的縱坐標為2m，進而求出MN的長，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）由函數(shù)的解析式分別求出PM，PN，MN的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等即可求出m的值，利用梯形的性質(zhì)即可求出其面積．

解答：解：（1）當x=m時，
則M點的縱坐標為

2

m

，N點的縱坐標為

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1 m

2 m

=

1

2

，
故答案為：

1

2

；

（2）當x=m時，則M點的縱坐標為m，N點的縱坐標為2m，
∴MN=2m-m=m，
即d₁=m，
當x=m時，則M點的縱坐標為

2

m

，N點的縱坐標為

3

m

，
∴MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
即d₂=

1

m

；

（3）OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=m，
由題意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5或m=3或m=4或m=2，
當m=3時，點P與點A重合，當m=4時，點P與點B重合，
所以，m=2或5，
當m=2時，S=3；當m=5時，S=7.5．

點評：本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的各種性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和梯形的面積公式的，題目的綜合性較強，對學生的解題能力要求很高．