Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點為A（1，1），與x軸的一個交點為B，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過平行四邊形ABCD的兩個頂點C、D，其中點D在該拋物線的對稱軸上
（1）求點B的坐標和線段CD的長：
（2）求該反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用二次函數(shù)頂點坐標分別將-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1代入求出a，b即可，再利用圖象與x軸交點坐標求法得出B點坐標，進而利用平行四邊形的性質(zhì)求出AB=CD的長；
（2）首先利用平行四邊形的性質(zhì)表示出C，D兩點坐標，再利用圖象上點的坐標性質(zhì)求出反比例函數(shù)的解析式即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點為A（1，1），
∴-

b

2a

=1，∴b=-2a，
∵

4ac-b2

4a

=1，即

-b2

4a

=1，
∴

-(2a)2

4a

=

-4a2

4a

=-a=1，
解得：a=-1，
故b=-2×（-1）=2，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x²+2x；
當y=0，則0=-x²+2x；
解得：x₁=0，x₂=2，
故圖象與x軸的一個交點B坐標為（2，0），
延長DA到x軸一點E，∵點D在該拋物線的對稱軸上，
∴AE⊥OB，
∵頂點為A（1，1），
∴AE=EO=1，∵BO=2，
∴BE=1，
∴AB=

2

，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=

2

；

（2）過點C作CF⊥AD于點F，
由題意得出：BC∥AD，
∵AE⊥BO，AE=BE=1，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=∠CDF=45°，
∴DF=FC=1，
設(shè)C點坐標為：（2，h），則D點坐標為：（1，h+1），
將兩點分別代入y=

k

x

得：

h+1=k h= k 2

，
解得：

h=1 k=2

，
故該反比例函數(shù)的解析式為：y=

2

x

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標特點是解題關(guān)鍵．