Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙與y軸正半軸交于點C，連接BC、AC，CD是⊙的切線，AD⊥CD于點D，tan∠CAD=，拋物線過A、B、C三點.

（1）求證：∠CAD=∠CAB；

（2）求拋物線的解析式；

（3）判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明∠CA=∠CAD，∠CAB=∠CA，得∠CAD=∠CAB；（2） （3）拋物線頂點E在直線CD上；理由將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，右邊=×3+4==左邊，得拋物線頂點E在直線CD上

【解析】

試題分析：（1）證明：連接C，

∵CD是⊙的切線，

∴C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴C∥AD，

∴∠CA=∠CAD，

∵A=C，

∴∠CAB=∠CA，

∴∠CAD=∠CAB；              

（2）解：①∵AB是⊙的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴,

即OC²=OA?OB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC²=2CO（10-2CO），

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），             

∵拋物線y=ax²+bx+c過點A，B，C三點，

∴c=4，

由題意得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；              

②設直線DC交x軸于點F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵C∥AD，

∴△FC∽△FAD，

∴，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF=，F(xiàn)（）；              

設直線DC的解析式為y=kx+m，則，

解得：?，

∴直線DC的解析式為y=x+4，

由=得頂點E的坐標為（3，），

將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，

右邊=×3+4==左邊，

∴拋物線頂點E在直線CD上；              

考點：拋物線

點評：本題考查拋物線，要求考生會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，會判斷一個點是否在函數(shù)圖象上