Question

8．如圖，在Rt△ACB中，∠A=30°，過點B、C的⊙O交AB于D，交AC于E，點F在AE上，連接DE、DC、BE和DF，已知BC=EC，AD=AF．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）當BC=4時，求弦CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接半徑OD，可求得∠ODB=15°，∠ADF=75°，進一步可求得∠ODF=90°，可證得結(jié)論；
（2）先求出BE，證明△ADC∽△AEB，有$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$，可求出CD的長．

解答 （1）證明：如圖，連接半徑OD，
∵∠A=30°，AF=AD，
∴∠ADF=75°，
∵BE為直徑，BC=EC，
∴∠CBE=45°，且∠ABC=60°，
∴∠OBD=∠ODB=15°，
∴∠ODF=180°-（∠ODB+∠ADF）=90°，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：
在Rt△BCE中，BC=CE=4，
∴BE=$4\sqrt{2}$，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8，AC=$4\sqrt{3}$，
又∠ABE=∠DCA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$，即$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{CD}$，
解得CD=2$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．