Question

2．如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA．
（1）∠ABC=45°．
（2）依題中條件尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形．（不寫作法，但保留作圖痕跡）
（3）求∠CBD的角度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
（2）作線段AC的垂直平分線MN，以B為圓心BA為半徑畫弧交MN于D，連接CD、AD、BD即可．
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．只要證明BD=2DM，推出∠ABD=30°即可解決問題．

解答 解：（1）∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
故答案為45°．

（2）如圖所示，點(diǎn)D即為所求．

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵∠DNA=∠NAM=∠DMA=90°，
∴四邊形DNAM是矩形，
∴AN=DM，
∵DC=DA，DN⊥AC，
∴CN=AN=DN，
∵AC=AB=BD，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖-復(fù)雜作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，記住直角三角形中，如果斜邊等于直角邊的兩倍，這條直角邊所對(duì)的銳角為30°，屬于中考�？碱}型．