Question

19．求證：不論m取什么實數(shù)，方程x²-（m²+m）x+m-2=0必有兩個不相等的實數(shù)根．

Answer 1

分析 利用數(shù)形結(jié)合思想，將一元二次方程的解轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標來解決，再根據(jù)拋物線的開口方向以及當x=1時y＜0即可證出結(jié)論．

解答 證明：把方程x²-（m²+m）x+m-2=0看成二次函數(shù)y=x²-（m²+m）x+m-2與x軸交點的問題，畫出圖形如圖所示．
∵a=1＞0，
∴拋物線的開口向上．
∵當x=1時，y=1-（m²+m）+m-2=-1-m²＜0，
∴拋物線與x軸有兩個交點．
故不論m取什么實數(shù)，方程x²-（m²+m）x+m-2=0必有兩個不相等的實數(shù)根．

點評 本題考查了方程與函數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想化解方程為尋找函數(shù)圖象與x軸交點問題．本題屬于中檔題，利用數(shù)形結(jié)合的思想較簡便，若用根的判別式則難度較大．