Question

【題目】如圖，在菱形中，，點為邊上一點，連接交對角線于點．

（1）如圖1，已知于，菱形的邊長為6，求線段的長度；

（2）如圖2，已知點為邊上一點，連接交線段于點，且滿足，，求證：．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：(1)在直角△CDF中，根據勾股定理和30°角求CF的長，在直角△BCF中，由勾股定理求BF的長，通過△AFG∽△CBG，即可求FG；(2)取CH的中點M，連接BM，可得∠BMC＝150°，證△ABH≌△BCM，則可得到∠AHE＝90°.

詳解：(1)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

∴AD＝AB＝BC＝CD＝AC，∠FAC＝60°，AD//BC

∴△AFG∽△CBG，

∵CF⊥AD，∴AF＝AD＝BC，

∴，∴FG＝.

Rt△CDF中，由勾股定理可得，CF＝，

Rt△BCF中，因為BF2＝BC2＋CF2，所以BF＝.

則FG＝×.

(2)如圖，取CH的中點M，連接BM，

∵CH＝2BH，∴CM＝HM＝BH，∴∠HBM＝∠HMB.

∵∠FHC＝60°，∠FHC＝∠HBM＋∠HMB，

∴∠HMB＝30°，∴∠BMC＝150°.

∵∠FHC＝∠HBC＋∠HCB＝60°，∠ABC＝∠HBC＋∠ABH＝60°

∴∠HCB＝∠ABH，

∴△ABH≌△BCM(SAS)，∴∠AHB＝∠BMC＝150°.

∵∠BHE＝∠FHC＝60°，∴∠AHE＝∠AHB－∠BHE＝90°.

∴AH⊥CE.