Question

已知 關于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0．
（1）判斷方程的實數(shù)根的情況；
（2）當Rt△ABC的斜邊長a=5，且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時，求：k的值及△ABC的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：計算題

分析：（1）先計算判別式的值得到△=1，則根據(jù)判別式的意義可判斷方程的有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，再根據(jù)勾股定理得（b+c）²-2bc=25，則（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，解得k=-5或k=2，然后根據(jù)三角形三邊的關系可判斷k=2，b+c=7，再求Rt△ABC的周長．

解答：解：（1）∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∴△＞0，
∴方程的有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）依題意得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，
∵在Rt△ABC中 b²+c²=a²，
∴（b+c）²-2bc=25，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0
解得k=-5或k=2，
∵k=-5時，b+c=-7不合題意，舍去；k=2，b+c=7，符合題意，
∴Rt△ABC的周長為a+b+c=12．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關系．